Stehende Längswellen in einer Gassäule

(Rubens’sches Flammenrohr)

Beim sogenannten Rubens’schen Flammenrohr wird vor einem Metallrohr (hier Messing) am offenen Ende zwecks Einkopplung einer Schallwelle ein Lautsprecher positioniert. Die Schallwelle breitet sich im Rohr aus und wird am abgeschlossenen „festen“ Ende reflektiert. Die Frequenz der Schallwelle und ihre Amplitude kann mittels eines Sinusgenerators verändert werden. Der Generator ist mit dem Lautsprecher verbunden.

Für bestimmte Frequenzen bilden sich im Rohr stehende Wellen aus. Am Ende des Rohres befindet sich ein Auslenkungsknoten, an der Einkoppelstelle ein Auslenkungsbauch. Die Amplitude des “Bauches“ wird bestimmt durch die Auslenkung der Lautsprechermembran.

Um die stehende Welle sichtbar zu machen, wird in das Rohr Gas eingelassen, welches durch kleine in regelmäßigen Abständen angebrachte Öffnungen an der Oberseite des Rohres entweichen kann. Die von unten einströmende Erdgasmenge wird so einreguliert, dass das aus den Löchern austretende und entzündete Gas etwa 5-8 cm hohe Flämmchen ergibt.

Position Amplituden(Auslenkungs-)knoten p = p₀

Position Amplituden(Auslenkungs-)bauch

Position der Schallquelle – Einkopplung am offenen Ende

Bevor der Lautsprecher eingeschaltet wird, brennt das Gas mit gleich hohen Flammen. Dies ändert sich unwesentlich, wenn man die Schallquelle einschaltet. Durch Variation der Frequenz wird erreicht, dass das Flammenbild relative Maxima und Minima zeigt:

Wo innen im Rohr ständig ein zeitlich konstanter Druck herrscht (ein Auslenkungsknoten Dp = 0), brennen außen die Flammen niedrig. Wo innen der Druck ständig wechselt (Auslenkungsbauch Dp>0) und damit das Gas an den Löchern ständig vorbeiströmt, brennen außen die Flammen höher (siehe Diskussion am Ende dieser Erörterung). Wir haben also folgende Zuordnung:

Druckbauch	Flammenhöhe rel. Maximum
Druckknoten	Flammenhöhe rel. Minimum

Für 430Hz ergeben sich aus dem Flammenbild folgende Parameter:

Frequenz / Hz	Abstand Maxima / m l/2	Rohrlänge l / m	Zahl der Halbwellen	Gasart
430 ± 10	0,52 ± 0,01	3,30	6	Erdgas

Der Abstand der relativen Flammenmaxima (Knoten der Schallwelle) entspricht der halben Wellenlänge 52 cm. Wir beobachten für 430 Hz insgesamt 6 Halbwellen zuzüglich einer Viertelwellenlänge am offenen Ende. In Rohren mit einem offenen und einem geschlossenen Ende können sich stehende Wellen mit folgenden Wellenlängen l_n ausbreiten:

bzw.

Setzen wir l = 3,3m und n =6 in obige Gleichung ein, so folgt für die Wellenlänge 1,015m in guter Übereinstimmung mit dem gemessenen wert l = 1,04 m. Für l=1,03m folgt

Die Ergebnisse einer neueren Messung der Wellenlänge in Abhängigkeit von n sind in folgender Abbildung dargestellt:

Trägt man die reziproke Wellenlänge bzw. die Frequenz in Abhängigkeit von n auf, werden folgende Abhängigkeiten erwartet:

Die rote Gerade entspricht dem erwarteten Verlauf für die Rohrlänge l = 3,30m. Die gemessenen Werte (rote Quadrate) würden mittels Geradenausgleich aus dem mittleren gemessenen Anstieg 1/2l einen Wert von l = 3,40m ergeben, was einer Abweichung von 3% entspricht.

Aus den bekannten Frequenzen kann die Schallgeschwindigkeit c ermittelt werden, was einem Mittelwert entspricht.

Die Schallgeschwindigkeit ist bestimmt durch die chemische Zusammensetzung des Gases im Rohr. Luft ist es offensichtlich nicht (c @ 330 m/s).

Für elastische Wellen in Gasen erhielten wir durch Lösen der Wellengleichung die Relation

mit

Wir ermitteln den Kompressionsmodul unter Verwendung der Zustandsgleichung für ideale Gase (m- Gasmasse; µ-molare Masse):

bzw.

Differentiation ergibt k:

Wegen m/V = r verwenden wir die Zustandsgleichung in der Form:

Damit erhält man für den Kompressionsmodul eines idealen Gases:

und damit für die Schallgeschwindigkeit (in isothermer Näherung):

Ein genaueres Ergebnis erhält man in adiabatischer Näherung. Da die Temperatur bei der Kompression des Gases durch Druckwellen nicht konstant bleibt (der Wärmeaustausch ist nicht schnell genug), muss die Adiabatengleichung bei der Berechnung von k herangezogen werden:

Damit erhält man:

und im weiteren für die Schallgeschwindigkeit (Vorgehensweise wie oben):

Die Schallgeschwindigkeit verhält sich reziprok zur Wurzel aus der molaren Masse. Das Verhältnis zweier molarer Massen ist somit bestimmt durch das Verhältnis des Quadrates der Schallgeschwindigkeiten:

bzw.

Wir erhalten für µ_Luft = 29g, c_Luft = 340 m/s und c_Gas = 447 m/s den Wert µ_Gas=17,1g. In adiabatischer Näherung folgt mit c_Gas/c_Luft = 1,33/1,4 = 0,95 der Wert µ_Gas=15,9. Damit haben wir nachgewiesen, dass Erdgas mit einer mittleren relative Molekülmasse µ_r =16 im wesentlichen aus Methan besteht.

Die Resultate unserer quantitativen Auswertung lauten also:

λn / m	c / ( m/s )	µr	Gas
1,03	447	16	Methan

Wir erörtern nachträglich den Zusammenhang zwischen Flammenhöhe und Auslenkung der Gasmoleküle.

Die Flammenhöhe bildet den Verlauf des statischen Druckes entlang des Rohres ab.

Ein ruhendes Gas entspricht in der stehenden Welle den Schwingungsknoten. Die thermische Bewegung des Gases bleibt hierbei außer acht, da diese Bewegung isotrop, die Welle aber gerichtet ist. Die thermische Bewegung bewirkt einen Teilchenaustausch, die mittlere Geschwindigkeit im Knoten ist jedoch gleich Null.

In einem Knoten gilt:

In einem Bauch wird die Druckänderung bestimmt durch den maximalen Betrag der Druckschwankung, hervorgerufen durch die Verdichtung Dp mittels des Lautsprechers: